中国数学与世界数学的区别
《数学学习23/30》接着谈概率论与数理统计。这一节讲的是三个科学家, 虽然他们都没有多少数学天赋，却对数学作出了具大贡献，并改变了科学研究的方法。如前所述，本系列是针对的是学生家长，相信不少父母, 特别是认为自家孩子缺少数学天赋的父母,看完本节之后, 对孩子的认识一定会有所改变。同时，也可能会改变对数学的看法，数学并不只是解决几个世界级的猜想，更重要的是数学来源于生活。这里，第一位要介绍的是英国的植物学家布朗（Robert Brown，1773-1858），与许多科学家一样，布郎是一位牧师的儿子，他学过医，从事过博物工作。大概是闲来无事，他用显微镜观察了水, 对水中直径大约为0.0056毫米的花粉进行了追踪, 他发现了一种奇特的运动。起初, 他以为这种运动是源于花粉这类有生命的微粒，因而对玻璃片, 花冈石，甚至狮身人面像上的粉粒，百年前的花粉等等, 没有生命的粉粒进行了观察。这些不同类型的小微粒，在水中仍然以相同的方式运动。他发表了一篇题目很长的论文 ＂简要解释1827年6，7，8月间显微镜观察植物花粉中的微粒及观察有机物和无机物中普遍存在的活跃分子＂，文中提出了有三个特性的著名的布朗运动：第一，微粒向某一方向或另一方向运动，有同样的可能性；第二，未来的运动不受过去运动的影响；第三，运动永不止息。布朗运动在科学上冒了个泡,很快就消失了, 之后的半个多世纪, 几乎再无人问津。不争的事实是, 没有任何理论可以给布朗运动以合理的解释, 它挑战了人们的传统思维, 挑战了因果规律。而因果论正是19世纪科学研究的特色。布朗运动从本质上讲是随机的，任何非随机的理论都不能解释它, 但那时的科学家们, 还没有准备好如何研究随机事件。不过, 布朗运动慢慢地改变了人们思维的方法, 那就是科学研究不再只是寻求某种原因的必然结果, 而是尽量准确地得到多种结果的可能性。 第二位要介绍的是英国的物理学家麦克斯韦（James Clerk Maxwell,1831-1879)。麦克斯韦十四岁时就开始发表数学论文, 由于水平有限, 错误百出, 他一生也没有发表过高水平的数学文章。但这并不影响他被喻为十九世纪杰出的物理学家。 他最伟大的贡献, 在于他怀疑权威,他认为运用牛顿定律描述物体的运动，要知道物体某一时刻所处的位置和速度，这不适合研究有无数颗粒运动的气体(那时候还没发现分子, 他只是假设)。因此他对气体运动作了三条公理性的描述：1，有大量相距很远的小微粒互相作弹性碰撞；2，气体装在在巨大的容器之内,与周围的环境完全隔离；3，气体分子与容器壁之间的碰撞是弹性碰撞。他进一步将气体内某一分子特定时刻运动的速度,描述为在一定数值范围内的概率, 而不是固定的值, 从而将概率引进了广阔的物理学领域, 也改变了自牛顿之后,绝大多数科学研究方法是确定性的研究思路。 另一位必须介绍的数学家, 是俄国的马尔可夫（Andrey Anreyevich Markova, 1856-1922)。据说马尔可夫也不聪明，他喜爱数学的原因并不是因为他数学好，而是因为他其它的功课比数学更糟。马尔可夫曾致力于研究概率论的中心极限定理和大数定律，没做出什么成绩。他留芳后世享誉世界，就是为 “马尔科可夫过程” 起了个名字。一般来说，数学家发现某个数学结果或定理，通常是在数学家死了之后，为了纪念他,其他数学家以发现者的名字来命名。马尔可夫则是例外，他爱标新立异, 也爱得瑟，他将自己感兴趣的一种假想问题，也不知道那问题今后能派上什么用场,在他还活𨂃乱跳的时候，便以自已的名字, 命名为马尔可夫过程，也叫马尔可夫链。（马尔可夫的这种性格, 值得有些写博客的老兄们学习。如果您行事低调, 谦虚谨慎, 不露锋芒，谁理睬你？）据说马尔可夫曾经试图用概率论来研究文学著作，将名著当作字母的随机排列，但没研究出什么结果。不过，今天的马尔可夫过程, 已被广泛地用于股票市场，期货巿场，生物科学，社会科学，数学中的交换理论等等。
马尔可夫过程究竞是什么呢？简单说, 就是指一连串的随机亊件，并且假定它们有三个基本特性：第一，这个过程是一系列的随机事件；第二，一旦知道现在的状态，就知道下一个状态发生的概率; 第三，下一状态的概率只受现在状态的影响，与历史状态和过程无关。换一句话来解释：如果将一个复杂的过程当作马尔可夫过程来讨讫论，就要将问题简化，认定它符合马尔可夫过程的三个特征。布朗运动, 麦克斯韦公理以及马尔可夫过程三种现象, 对我们讨论概率论有什么关系呢? 数学学习中, 我们常常听到抽象提练归纳总结演译, 等等。这些词汇本身就很粗象, 这里介绍的三种现象, 就是经典的提练与抽象。 概率论起初探讨的问题, 只是简单的机会游戏。后续的发展, 则是关于髙度提练的布朗运动, 麦克斯韦公理, 马尔可夫过程等等。 在概率论飞速发展的今天, 回顾这些基本问题, 就不难理解人们对概率论的争议。 大千世界变化无常, 几种现象如何抽象得了呢,只是其九牛一毛而矣。概率论是发展中的学科, 还有许多领域等待着去开发, 应该少一些神化与美化，多一些质疑。类似于概率论, 许多学科包括科学，都被负予了太多的意义和责任，负予了太多的光环，承受了下不能承受之重。从而, 有些居心叵测的人与组织，也乘机给自己带上许多光环。真学问真科学是不需要形容词感叹词广告词的, 简单一点就是:理论是什么？适合于什么样的问题？我们面对的实际问题又是什么？ 理清这三者之间的关系就行了。另外一点，在信息爆炸知识泛滥人物横行的今天，“尊重知识尊重人才”的提法应该摒弃。知识, 乃人造之物, 有何德性值得尊重呢?尊重人才，其前提首先应该是尊重人。
扯远了。相对于数学的其它分支，概率论与数理统计虽然新，但它是应用最多实用性最强的一门分支, 它将生活常识用数学公式表示出来，可以指导人们的生活, 会啟发和改变人们的思想。现行中学阶段的数学学习，基本上是为今后深入学习徽积分作准备，方向明确目标单一，中国与美国的情况基本相似。微积分固然十分重要，但如果将导向微积分的数学学习适当调节，增加实用性强的概率论与数理统计的训练，我们培养的人就会少一些书呆了，多一些识人性接地气，大道至简一叶知秋的正常人(待续 )。
对于不从事高深数学研究的人来说,数学是什么呢?通俗地讲, 数学是研究现实世界数量关系和空间关系的一门学问, 是对现实世界的直接抽象和归纳,是一门自然科学;同时数学也是对抽象的数值形态结构进行研究和逻辑推理的一门演绎科学。所以说, 数学是自然科学和演绎科学的统一, 贯穿在二者之间的则是思维科学; 是生活中指导人们观察抽象分析推理演绎等综合性的思维科学, 是精湛理论和完美艺术的结合。
理解了数学的这一特征, 则不难理解, 数学不只是印在教科书上或熟记在脑子里的公式与定理, 更是一种动态的过程与活动。数学教学, 尤其是中小学的数学教学, 其核心应该是对孩子们进行科学的思维训练。理解和应用前人的公式定理固然重要, 但那只是数学的表层, 可以帮助学生认识和理解数学的内函。 但如果将训练应用各种公式定理的方法作为数学教学的主要内容, 强调什么一题多解多题一解, 题海战术超强度训练等等,让方法取代理论,将数学艺术变成一门技术, 则是对数学的误解,也是对孩子们创造性与思维能力的一种损害。
很高深的问题。问什么是什么的问题，很多时候，表面看很简单，但其实不简单，因为这是最高最深的总结。我觉得数学本质就是一种工具，被用来分析物理的化学的世界的一种工具。数理化三者之间是有差别的。理化是对自然世界最基础最根本的认识和理解，而数学作为一种工具是被用来分析理解物理化学世界的。
我记得俄国有一个数学家说过，数学是思维的工具。 数学更像语言学，而不是像自然科学。数学不是日常生活的语言，但是数学是很多其他学科的语言和思维工具。 数字只是一个语言表达方式，或者说符号而已。人类可以选择不同的符号， 比如中国人和西方人都采用了阿拉伯数字，只是因为简单。
我认为：数学是关于数的研究。数的本质是关于有限事物，无限事物，以及它们之间的关系的量或积累的关系。
数学是一门研究数字，结构，与形态内在关系的学科；数学是思考的工具。拿你有兴趣的Nim问题来说。数学就是发现这个问题中数字之间的内在关系，找到并证明有一个必胜策略。我说的这个证明一定会用到广义的多维的归纳法；这里的核心是归纳法。你前一篇日志所做的部分是自然科学的部分，归纳法就是这个问题的数学部分，表达出来就是这个问题的语言部分。归纳法就是这个问题的逻辑思维部分。
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